No hablo por mandato, sino por ocasión del atrevimiento de los demás, y para probar la sinceridad de vuestro amor.

No por mandamiento - 'no por vía de mandamiento'.

Por ocasión de [ dia ( G1223 ) con el genitivo, por medio de, no a causa de]

El atrevimiento de los demás ...  'sino por (mención de) el atrevimiento de los demás (como un incentivo para ti), y para probar (literalmente, probar) la sinceridad de tu amor.' Bengel, etc., 'Por medio del atrevimiento de otros, demostrando TAMBIÉN la sinceridad de tu amor.' El primero es más simple.

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